WELCOME TO DHARUS BLOG

Rabu, 07 Desember 2011

DALIL PHYTAGORAS

            DALIL PHYTAGORAS
h01
Dalil Pythagoras merupakan salah satu dalil yang paling sering digunakan secara luas. Dalil ini pertama kali ditemukan oleh Pythagoras, yaitu seorang ahli matematika bangsa yunani yang hidup dalam abad keenam Masehi ( kira-kira pada tahun 525 sebelum Masehi ).
Dalil ini sesungguhnya telah dikenal orang-orang Babilonia sekitar 1.000 tahun sebelum masa kehidupan Pythagoras dan sampai saat ini masih digunakan antara lain untuk pelayaran, astronomi, dan arsitektur.
PEMBUKTIAN DALIL PYTHAGORAS
Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku Dalil Pythagoras , yaitu :
h10
c2 = a2 + b2
atau
Kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi-sisi yang saling tegak lurus
v  Pembuktian Dalil Pythagoras ada 3 cara, yaitu :
Cara Pertama
Perhatikan Gambar dibawah ini :
2
Pada gambar diatas, terdapat 4 segitiga siku-siku yang sebangun dan sama besar, persegi dengan panjang sisi c dan persegi dengan panjang sisi a + b. Luas Segitiga siku-siku tersebut masing-masing adalah 32, luas persegi yang didalam (warna pink) adalah c2 dan luas persegi yang besar (yang terluar) adalah (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Dari gambar bidang tersebut, dapat kita peroleh persamaan yaitu :
Luas persegi yang terluar = luas persegi yang didalam + 4 luas segitiga siku-siku.
4
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2 ab
a2 + 2ab + b2 – 2ab = c2
a2 + b2 = c2 
Terbukti bahwa c2 = a2 + b2
Keterangan :
Luas persegi = sisi x sisi = s2
Luas segitiga = hal4b
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Cara Kedua
Luas empat buah segitga yang diarsir pada persegi ABCD = luas empat buah segitiga yang diarsir pada persegi KLMN,  maka luas daerah yang tidak diarsir pada persegi ABCD = luas daerah yang tidak diarsir pada persegi KLMN.
Kesimpulan : 
c   =    a2 +  b2
Keterangan :        
Luas persegi  =  sisi  x   sisi   =   s2
Luas Segitiga = hal4b
( a + b )2          = a2+ 2ab + b2

Cara Ketiga
Perhatikan gambar di atas !

Luas persegi dengan panjang sisi a adalah 9 satuan luas ( 9 kotak ) atau a2
Luas persegi dengan panjang sisi b adalah 16 satuan luas ( 16 kotak ) atau b2
Luas persegi dengan panjang sisi c = luas persegi dengan panjang sisi a + luas persegi dengan panjang sisi b
25 satuan luas
=
9 satuan luas
+
16 satuan luas
25 satuan luas
=
25 satuan luas


Kesimpulan :
c2 = a2 + b2
Keterangan :
Luas persegi = sisi x sisi = s2
Perhitungan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku, Jika dua sisi yang lain diketahui
Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku :
h10
1.
Jika sisi a dan b diketahui , maka sisi c dapat dihitung
dengan rumus : c2 = a2 + b2
2.
Jika sisi b dan c diketahui , maka sisi a dapat dihitung
dengan rumus : a2 = c2 – b2
3.
Jika sisi a dan c diketahui , maka sisi b dapat dihitung
dengan rumus : b2 = c2 – a2

Tripel Pytagoras
Tigaan Pythagoras sering diistilahkan triple pythagoras. Tigaan Pythagoras adalah Kelompok tiga bilangan dimana kuadrat bilangan terbesar merupakan jumlah kuadrat bilangan lainnya.

contoh : 3, 4, 5 dan kelipatannya
seperti 6, 8, 10 : 9, 12, 15 dsb
Tiga buah bilangan a, b dan c dimana a, b dan ? bilagan asli dan c merupakan bilangan terbesar, dikatakan merupakan tripel Pythagoras jika ketiga bilangan tersebut memenuhi hubungan :
c2
=
a2+b2

b2
=
c2-a2

a2
=
c2-b2

CONTOH :
Manakah diantara tigaan berikut yang merupakan tripel Pythagoras ?
a. 6, 8, 10
b. 5, 12, 13
c. 11, 12, 13
PENYELESAIAN
a.
Angka terbesar 10, maka c = 10, a = 8 dan b = 6
102 = 82 + 62
100 = 64 + 36
100 = 100
Jadi 6, 8, 10 merupakan tripel Pythagoras

b.
Angka terbesar 13, maka c = 13, a = 12 dan b = 5
132 ¹ 122 + 52
169 ¹ 144 + 25
169 ¹ 169
Jadi 5, 12, 13 merupakan tripel Pythagoras

c.
Angka terbesar 13, maka c = 13, a = 12 dan b= 11

132 = 122 + 112
169 = 144 + 121
169 = 265
Jadi 5, 12, 13 bukan merupakan tripel Pythagoras







BILANGAN FIBONACCI 


Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:
  F(n)=
  \left\{
   \begin{matrix}
    0\,,\qquad\qquad\qquad\quad\,\ \ \,&&\mbox{jika }n=0\,;\ \ \\
    1,\qquad\qquad\qquad\qquad\,&&\mbox{jika }n=1;\ \ \,\\
    F(n-1)+F(n-2)&&\mbox{jika tidak.}
   \end{matrix}
  \right.
Penjelasan: barisan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan aturan ini, maka barisan bilangan Fibonaccci yang pertama adalah:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...
Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut: Fn = (x1^n - x2^n)/ sqrt(5) dengan
  • Fn adalah bilangan Fibonacci ke-n
  • x1 dan x2 adalah penyelesaian persamaan x^2-x-1=0
Perbandingan antara Fn+1 dengan Fn hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut Golden Ratio yang nilainya mendekati 1,618.
Pengaturan lantai dengan kotak berukuran bilangan Fibonacci
Tentunya, kita semua mengenal bilangan Fibonacci (atau disebut juga barisan Fibonacci). Suku pertama barisan ini adalah 1, begitu pula dengan suku ke-2. Suku berikutnya merupakan penjumlahan 2 suku sebelumnya.
Suku-suku positif barisan Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

Di post ini, kita akan mengenal lebih jauh mengenai bilangan Fibonacci ini. Dimulai dengan sejarah bilangan Fibonacci, bahkan sampai terciptanya rumus Binet, yang digunakan untuk mencari suku ke-n dari Fibonacci, yaitu sebagai berikut.

19
dimana
20= 21

BUKTI RUMUS BINET

Barisan Fibonacci merupakan barisan kombinasi linear 6. Namun, kita juga dapat mendekati barisan ini secara geometrik.

Asumsikan bahwa: 1dimana a merupakan konstanta awal yang bukan nol. Dengan demikian:

6
2

Dengan membagi kedua ruas dengan 3, kita dapatkan:

4
5

Bentuk di atas merupakan bentuk persamaan kuadrat. Oleh karena itu, kita gunakan rumus6 untuk menyelesaikan persamaan tersebut.
Maka, kita dapatkan:7 dan 8.

Untuk mempermudah penulisan, kita tahu bahwa hasil dari 9merupakan golden number, maka kita simbolkan dengan 11. Hasil dari 10juga ternyata adalah 12.

Kita mendapatkan 2 buah r dalam barisan ini. Artinya, barisan fibonacci merupakan barisan geometri kombinasi menggunakan 2 buah rasio tersebut. Ingat kembali asumsi awal bahwa 1. Karena, kita memiliki 2 buah rasio r, maka kita definisikan kembali

13
dimana 21 dan 22  adalah konstanta bukan nol.

Kombinasi linear tersebut dapat dibuktikan kebenarannya, seperti yang ditunjukkan di kotak warna biru di bawah.

Bukti bahwa barisan Fibonacci dapat didefinisikan sebagai 13.

Kita buktikan secara induksi matematika. Anggap bahwa 13adalah BENAR.

Kita tahu bahwa: 6, maka:
14
15
Namun, kita tahu dari persamaan karakteristik sebelumnya bahwa 16dengan membaginya dengan 17, kita dapatkan 18. Begitu pula dengan 19, kita dapatkan 23.

20
13

Karena persamaan 3sesuai dengan definisi awal, maka 13TERBUKTI secara induksi matematik.
13
22724... (a)
2527262728... (b)
Dengan menyelesaikan persamaan (a) dan (b), maka kita dapatkan 29dan 30
Maka, kita sudah mendapatkan semua komponen formula Fibonacci.

13
1
2
Dengan demikian, formula (rumus) Binet terbukti.

ANGKA FIBONACCI
1 = 1 * 1 1 = 1 * 1
1 = 1 * 1 + 0 1 = 1 * 1 + 0
2 = 1 * 1 + 1 2 = 1 * 1 + 1
3 = 1 * 2 + 1 3 = 1 * 2 + 1
5 = 1 * 3 + 2 5 = 1 * 3 + 2
8 = 1 * 5 + 3 8 = 1 * 5 + 3
13 = 1 * 8 + 5 13 = 1 * 8 + 5
................................ ...............
fn-1 = 1*fn-2 + fn-3 fn-1 = 1 * fn-2 + fn-3
fn = 1*fn-1 + fn-2 fn = 1 * fn-1 + fn-2
fn+1 = 1*fn + fn-1 fn +1 = 1 * fn + fn-1

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar