DALIL PHYTAGORAS

            DALIL PHYTAGORAS

Dalil Pythagoras merupakan salah satu dalil yang paling sering digunakan secara luas. Dalil ini pertama kali ditemukan oleh Pythagoras, yaitu seorang ahli matematika bangsa yunani yang hidup dalam abad keenam Masehi ( kira-kira pada tahun 525 sebelum Masehi ).

Dalil ini sesungguhnya telah dikenal orang-orang Babilonia sekitar 1.000 tahun sebelum masa kehidupan Pythagoras dan sampai saat ini masih digunakan antara lain untuk pelayaran, astronomi, dan arsitektur.

PEMBUKTIAN DALIL PYTHAGORAS

Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku Dalil Pythagoras , yaitu :

c² = a² + b²

atau

Kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi-sisi yang saling tegak lurus

v  Pembuktian Dalil Pythagoras ada 3 cara, yaitu :

Cara Pertama

Perhatikan Gambar dibawah ini :

Pada gambar diatas, terdapat 4 segitiga siku-siku yang sebangun dan sama besar, persegi dengan panjang sisi c dan persegi dengan panjang sisi a + b. Luas Segitiga siku-siku tersebut masing-masing adalah , luas persegi yang didalam (warna pink) adalah c² dan luas persegi yang besar (yang terluar) adalah (a + b)² = a² + 2ab + b².

Dari gambar bidang tersebut, dapat kita peroleh persamaan yaitu :

Luas persegi yang terluar = luas persegi yang didalam + 4 luas segitiga siku-siku.

a² + 2ab + b² = c² + 2 ab

a² + 2ab + b² – 2ab = c²

a² + b² = c² 

Terbukti bahwa c² = a² + b²

Keterangan :
Luas persegi = sisi x sisi = s²

Luas segitiga =

( a + b )2 = a² + 2ab + b²

Cara Kedua

Luas empat buah segitga yang diarsir pada persegi ABCD = luas empat buah segitiga yang diarsir pada persegi KLMN,  maka luas daerah yang tidak diarsir pada persegi ABCD = luas daerah yang tidak diarsir pada persegi KLMN.

Kesimpulan : 

c²    =    a² +  b²

Keterangan :        
Luas persegi  =  sisi  x   sisi   =   s²

Luas Segitiga =

( a + b )²          = a²+ 2ab + b²

Cara Ketiga

Perhatikan gambar di atas !

Luas persegi dengan panjang sisi a adalah 9 satuan luas ( 9 kotak ) atau a2
Luas persegi dengan panjang sisi b adalah 16 satuan luas ( 16 kotak ) atau b2

Luas persegi dengan panjang sisi c = luas persegi dengan panjang sisi a + luas persegi dengan panjang sisi b

25 satuan luas	=	9 satuan luas	+	16 satuan luas
25 satuan luas	=	25 satuan luas

Kesimpulan :

c² = a² + b²

Keterangan :
Luas persegi = sisi x sisi = s²

Perhitungan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku, Jika dua sisi yang lain diketahui

Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku :

1.	Jika sisi a dan b diketahui , maka sisi c dapat dihitung dengan rumus : c2 = a2 + b2
2.	Jika sisi b dan c diketahui , maka sisi a dapat dihitung dengan rumus : a2 = c2 – b2
3.	Jika sisi a dan c diketahui , maka sisi b dapat dihitung dengan rumus : b2 = c2 – a2

Tripel Pytagoras

Tigaan Pythagoras sering diistilahkan triple pythagoras. Tigaan Pythagoras adalah Kelompok tiga bilangan dimana kuadrat bilangan terbesar merupakan jumlah kuadrat bilangan lainnya.

contoh : 3, 4, 5 dan kelipatannya
seperti 6, 8, 10 : 9, 12, 15 dsb

Tiga buah bilangan a, b dan c dimana a, b dan ? bilagan asli dan c merupakan bilangan terbesar, dikatakan merupakan tripel Pythagoras jika ketiga bilangan tersebut memenuhi hubungan :

c2	=	a2+b2
b2	=	c2-a2
a2	=	c2-b2

CONTOH :

Manakah diantara tigaan berikut yang merupakan tripel Pythagoras ?

a. 6, 8, 10

b. 5, 12, 13

c. 11, 12, 13

PENYELESAIAN

a.	Angka terbesar 10, maka c = 10, a = 8 dan b = 6 102 = 82 + 62 100 = 64 + 36 100 = 100 Jadi 6, 8, 10 merupakan tripel Pythagoras
b.	Angka terbesar 13, maka c = 13, a = 12 dan b = 5 132 ¹ 122 + 52 169 ¹ 144 + 25 169 ¹ 169 Jadi 5, 12, 13 merupakan tripel Pythagoras
c.	Angka terbesar 13, maka c = 13, a = 12 dan b= 11 132 = 122 + 112 169 = 144 + 121 169 = 265 Jadi 5, 12, 13 bukan merupakan tripel Pythagoras

BILANGAN FIBONACCI 

Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

Penjelasan: barisan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan aturan ini, maka barisan bilangan Fibonaccci yang pertama adalah:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut: Fn = (x1^n - x2^n)/ sqrt(5) dengan

• Fn adalah bilangan Fibonacci ke-n
• x1 dan x2 adalah penyelesaian persamaan x^2-x-1=0

Perbandingan antara Fn+1 dengan Fn hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut Golden Ratio yang nilainya mendekati 1,618.

Tentunya, kita semua mengenal bilangan Fibonacci (atau disebut juga barisan Fibonacci). Suku pertama barisan ini adalah 1, begitu pula dengan suku ke-2. Suku berikutnya merupakan penjumlahan 2 suku sebelumnya.
Suku-suku positif barisan Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

Di post ini, kita akan mengenal lebih jauh mengenai bilangan Fibonacci ini. Dimulai dengan sejarah bilangan Fibonacci, bahkan sampai terciptanya rumus Binet, yang digunakan untuk mencari suku ke-n dari Fibonacci, yaitu sebagai berikut.

dimana =

BUKTI RUMUS BINET

Barisan Fibonacci merupakan barisan kombinasi linear . Namun, kita juga dapat mendekati barisan ini secara geometrik.

Asumsikan bahwa: dimana a merupakan konstanta awal yang bukan nol. Dengan demikian:

Dengan membagi kedua ruas dengan , kita dapatkan:

Bentuk di atas merupakan bentuk persamaan kuadrat. Oleh karena itu, kita gunakan rumus untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

Maka, kita dapatkan: dan .

Untuk mempermudah penulisan, kita tahu bahwa hasil dari merupakan golden number, maka kita simbolkan dengan . Hasil dari juga ternyata adalah .

Kita mendapatkan 2 buah r dalam barisan ini. Artinya, barisan fibonacci merupakan barisan geometri kombinasi menggunakan 2 buah rasio tersebut. Ingat kembali asumsi awal bahwa . Karena, kita memiliki 2 buah rasio r, maka kita definisikan kembali

dimana  dan   adalah konstanta bukan nol.

Kombinasi linear tersebut dapat dibuktikan kebenarannya, seperti yang ditunjukkan di kotak warna biru di bawah.

Bukti bahwa barisan Fibonacci dapat didefinisikan sebagai .

Kita buktikan secara induksi matematika. Anggap bahwa adalah BENAR.

Kita tahu bahwa: , maka:

Namun, kita tahu dari persamaan karakteristik sebelumnya bahwa dengan membaginya dengan , kita dapatkan . Begitu pula dengan , kita dapatkan .

Karena persamaan sesuai dengan definisi awal, maka TERBUKTI secara induksi matematik.

... (a)
... (b)
Dengan menyelesaikan persamaan (a) dan (b), maka kita dapatkan dan
Maka, kita sudah mendapatkan semua komponen formula Fibonacci.

Dengan demikian, formula (rumus) Binet terbukti.

ANGKA FIBONACCI

1 = 1 * 1 1 = 1 * 1

1 = 1 * 1 + 0 1 = 1 * 1 + 0

2 = 1 * 1 + 1 2 = 1 * 1 + 1

3 = 1 * 2 + 1 3 = 1 * 2 + 1

5 = 1 * 3 + 2 5 = 1 * 3 + 2

8 = 1 * 5 + 3 8 = 1 * 5 + 3

13 = 1 * 8 + 5 13 = 1 * 8 + 5

................................ ...............

fn-1 = 1*fn-2 + fn-3 fn-1 = 1 * fn-2 + fn-3

fn = 1*fn-1 + fn-2 fn = 1 * fn-1 + fn-2

fn+1 = 1*fn + fn-1 fn +1 = 1 * fn + fn-1