BARISAN BILANGAN FIBONACCI
Barisan Fibonacci berawal dari sebuah kasus yang dikemukakan oleh seorang
matematikawan Italia, Fibonacci, dalam bukunya yang berjudul Liber Abaci.
Kasus itu dijelaskan sebagai berikut:
Sepasang kelinci muda (jantan dan betina) ditempatkan di suatu pulau.
Asumsikan bahwa kelinci tidak akan melahirkan sebelum berumur 2 bulan.
Kemudian, setelah berumur 2 bulan, setiap pasang kelinci akan melahirkan
sepasang kelinci setiap 1 bulan. Pertanyaannya: Berapa banyak pasang kelinci
yang ada di sana setelah n bulan? (Kita juga menggunakan asumsi bahwa
kelinci tidak akan pernah mati.)
Barisan Fibonacci dapat
didefinisikan kembali sebagai berikut:
.
untuk
Note: kita juga dapat
mendefinisikan .
Untuk selanjutnya, barisan Fibonacci ini muncul dalam berbagai macam aplikasi. Sebagai contoh, di dalam bidang pertanian, jumlah pola spiral yang muncul pada tanaman (sering disebut sebagai phyllotaxis) selalu merupakan pola barisan Fibonacci.
Untuk selanjutnya, barisan Fibonacci ini muncul dalam berbagai macam aplikasi. Sebagai contoh, di dalam bidang pertanian, jumlah pola spiral yang muncul pada tanaman (sering disebut sebagai phyllotaxis) selalu merupakan pola barisan Fibonacci.
JUMLAH DAN SUKU PERTAMA
BILANGAN FIBONACCI
Dalam hubungannya mencari jumlah n suku pertama, pembicaraan kita tak terlepas dari deret. Kita beri simbol untuk menyatakan jumlah n suku pertama tersebut
Note: Pemberian simbol untuk deret Fibonacci ini tidak universal, dan tidak berlaku di tempat lain.
Agar menjadi gambaran yang jelas,
berikut akan disertakan tabel dan .
Tabel (barisan Fibonacci)
f1
|
f2
|
f3
|
f4
|
f5
|
f6
|
f7
|
f8
|
f9
|
f10
|
1
|
1
|
2
|
3
|
5
|
8
|
13
|
21
|
34
|
55
|
Tabel (deret Fibonacci)
F1
|
F2
|
F3
|
F4
|
F5
|
F6
|
F7
|
F8
|
F9
|
F10
|
1
|
2
|
4
|
7
|
12
|
20
|
33
|
54
|
88
|
144
|
Jelas bahwa kita menemukan identitas berikut:
berlaku untuk .
Berikut bukti identitas tersebut
secara eksplisit:
Kita tahu bahwa untuk . Jika kita mensubstitusikan , maka pernyataan sebelumnya bermakna sama dengan: untuk . Atau, jika kita tulis ulang dengan pemindahan ruas, akan sama dengan:
untuk
Oleh karena itu:
=
=
TERBUKTI
=
FORMULA BARISAN FIBONACCI ~ RUMUS
BINET
Jika kita ingin mencari suku ke 5 () dari
barisan fibonacci, tentunya kita lakukan dengan cara menghitung ulang secara 5
kali. Lebih tepatnya, kita melakukan penjumlahan 5 kali. Lalu bagaimana dengan atau ?
Mampukah kita menghitungnya? Jawabanya: tentu saja sanggup, tapi memakan waktu
lama. Cara yang lebih baik yaitu dengan menggunakan komputer, karena komputer
mampu menghitung dengan sekejab. Namun, tetap saja, algorima yang digunakan
haruslah rekursif, yaitu seperti definisi fungsi Fibonacci sebelumnya di atas.
Berikut
diberikan formula (rumus Binet) untuk menentukan suku ke-n dari barisan
fibonacci.
dimana = .
Phi () sering disebut juga sebagai
golden number. Nilai juga sama dengan atau
mendekati
Tentu saja,
kalian bisa mencocokan hasil perhitungan ini dengan hasil perhitungan manual.
Sebagai contoh n = 9. Maka:
Hasilnya tidak diragukan lagi. Memang sama..!!
BUKTI RUMUS BINET
Barisan
Fibonacci merupakan barisan kombinasi linear . Namun, kita juga dapat
mendekati barisan ini secara geometrik.
Asumsikan bahwa: dimana a merupakan konstanta awal yang bukan nol. Dengan demikian:
Asumsikan bahwa: dimana a merupakan konstanta awal yang bukan nol. Dengan demikian:
Dengan membagi kedua ruas dengan , kita
dapatkan:
Bentuk di atas merupakan bentuk
persamaan kuadrat. Oleh karena itu, kita gunakan rumus untuk
menyelesaikan persamaan tersebut.
Maka, kita dapatkan: dan .
Untuk
mempermudah penulisan, kita tahu bahwa hasil dari merupakan
golden number, maka kita simbolkan dengan . Hasil
dari juga
ternyata adalah .
Kita mendapatkan 2 buah r dalam barisan ini. Artinya, barisan fibonacci merupakan barisan geometri kombinasi menggunakan 2 buah rasio tersebut. Ingat kembali asumsi awal bahwa . Karena, kita memiliki 2 buah rasio r, maka kita definisikan kembali
Kita mendapatkan 2 buah r dalam barisan ini. Artinya, barisan fibonacci merupakan barisan geometri kombinasi menggunakan 2 buah rasio tersebut. Ingat kembali asumsi awal bahwa . Karena, kita memiliki 2 buah rasio r, maka kita definisikan kembali
dimana dan adalah konstanta bukan nol.
Kombinasi linear
tersebut dapat dibuktikan kebenarannya, seperti yang ditunjukkan di kotak warna
biru di bawah.
Bukti bahwa
barisan Fibonacci dapat didefinisikan sebagai .
Kita
buktikan secara induksi matematika. Anggap bahwa adalah BENAR.
Kita tahu bahwa: , maka:
Kita tahu bahwa: , maka:
Namun, kita tahu
dari persamaan karakteristik sebelumnya bahwa dengan
membaginya dengan , kita
dapatkan .
Begitu pula dengan , kita
dapatkan .
Karena persamaan
sesuai
dengan definisi awal, maka TERBUKTI secara induksi
matematik.
... (a)
... (b)
Dengan menyelesaikan persamaan (a) dan (b), maka kita dapatkan dan .
Maka, kita sudah mendapatkan semua komponen formula Fibonacci.
Dengan
demikian, formula (rumus) Binet terbukti.
Dapat disingkat menjadi:
Dapat disingkat menjadi:
dimana = .
Jika dirasa
rumus Binet tersebut terlalu menyulitkan, kita bisa menggunakan hampiran yang
dapat mengurangi kerumitan tersebut. Karena , maka. Jadi,
kita bisa meniadakan unsur . Maka,
hampiran rumus Binet adalah sebagai berikut.
untuk n cukup besar.
Barisan fibonacci yang dibahas di post ini merupakan barisan dengan suku-suku positif. Kita juga dapat menuliskan suku-suku negatifnya dan hal ini juga dijelaskan dalam formula Binet, sebagai berikut:
...-21, 13, -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21,...
Sebenarnya, masih banyak lagi identitas Fibonacci yang ada. Salah satunya sudah dibahas di atas, yaitu .
SIFAT-SIFAT BARISAN BILANGAN FIBONACCI
Teorema 1 :
Jika n habis dibagi m, maka
habis dibagi fn fm. Biarkan n dapat dibagi dengan m, yaitu, n = m * k di mana k
adalah beberapa bilangan bulat. Asumsikan bahwa fm * fk habis dibagi fm.
Pertimbangkan fm *
fk + 1.
fm (k + 1) = fmk + m. fm (k + 1) = fmk + m.
dan fmk + m =
fmk-1fm + fmkfm + 1
Sejak fmk-1fm habis
dibagi fm, fmk1fm + 1 adalah juga dibagi fm.
Teorema 2:
Berturut-turut angka Fibonacci
relatif prima. Asumsikan bahwa ada beberapa dua angka Fibonacci yang berurutan
mengatakan
fn fn dan 1 yang
mempunyai pembagi umum d, di mana d adalah lebih besar dari 1.
Dengan demikian,
perbedaan mereka fn 1 - fn = fn-1 akan juga dapat dibagi oleh d.
Namun, kita tahu bahwa f1 = 1
yang tidak jelas habis dibagi d. Dengan demikian, kita telah mencapai suatu
kontradiksi. Oleh karena itu, angka Fibonacci yang berurutan relatif prima.
ANGKA FIBONACCI
1 =
1 * 1 1 = 1 * 1
1 =
1 * 1 + 0 1 = 1 * 1 + 0
2 =
1 * 1 + 1 2 = 1 * 1 + 1
3 =
1 * 2 + 1 3 = 1 * 2 + 1
5 =
1 * 3 + 2 5 = 1 * 3 + 2
8 =
1 * 5 + 3 8 = 1 * 5 + 3
13 =
1 * 8 + 5 13 = 1 * 8 + 5
................................
...............
fn-1
= 1*fn-2 + fn-3 fn-1 = 1 * fn-2 + fn-3
fn =
1*fn-1 + fn-2 fn = 1 * fn-1 + fn-2
fn+1
= 1*fn + fn-1 fn +1 = 1 * fn + fn-1
Tidak ada komentar:
Posting Komentar