BARISAN BILANGAN FIBONACCI

BARISAN BILANGAN FIBONACCI

Barisan Fibonacci berawal dari sebuah kasus yang dikemukakan oleh seorang matematikawan Italia, Fibonacci, dalam bukunya yang berjudul Liber Abaci. Kasus itu dijelaskan sebagai berikut:

Sepasang kelinci muda (jantan dan betina) ditempatkan di suatu pulau. Asumsikan bahwa kelinci tidak akan melahirkan sebelum berumur 2 bulan. Kemudian, setelah berumur 2 bulan, setiap pasang kelinci akan melahirkan sepasang kelinci setiap 1 bulan. Pertanyaannya: Berapa banyak pasang kelinci yang ada di sana setelah n bulan? (Kita juga menggunakan asumsi bahwa kelinci tidak akan pernah mati.)

Barisan Fibonacci dapat didefinisikan kembali sebagai berikut:

.
untuk

Note: kita juga dapat mendefinisikan .
Untuk selanjutnya, barisan Fibonacci ini muncul dalam berbagai macam aplikasi. Sebagai contoh, di dalam bidang pertanian, jumlah pola spiral yang muncul pada tanaman (sering disebut sebagai phyllotaxis) selalu merupakan pola barisan Fibonacci.

JUMLAH DAN SUKU PERTAMA BILANGAN FIBONACCI

Dalam hubungannya mencari jumlah n suku pertama, pembicaraan kita tak terlepas dari deret. Kita beri simbol untuk menyatakan jumlah n suku pertama tersebut

Note: Pemberian simbol untuk deret Fibonacci ini tidak universal, dan tidak berlaku di tempat lain.

Agar menjadi gambaran yang jelas, berikut akan disertakan tabel dan .

Tabel (barisan Fibonacci)

f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10
1	1	2	3	5	8	13	21	34	55

Tabel (deret Fibonacci)

F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	F9	F10
1	2	4	7	12	20	33	54	88	144

Jelas bahwa kita menemukan identitas berikut:

berlaku untuk .

Berikut bukti identitas tersebut secara eksplisit:

Kita tahu bahwa untuk . Jika kita mensubstitusikan , maka pernyataan sebelumnya bermakna sama dengan: untuk . Atau, jika kita tulis ulang dengan pemindahan ruas, akan sama dengan:

untuk

Oleh karena itu:

=

=

TERBUKTI

                                                            =         

                                                                       

FORMULA BARISAN FIBONACCI ~ RUMUS BINET

Jika kita ingin mencari suku ke 5 () dari barisan fibonacci, tentunya kita lakukan dengan cara menghitung ulang secara 5 kali. Lebih tepatnya, kita melakukan penjumlahan 5 kali. Lalu bagaimana dengan atau ? Mampukah kita menghitungnya? Jawabanya: tentu saja sanggup, tapi memakan waktu lama. Cara yang lebih baik yaitu dengan menggunakan komputer, karena komputer mampu menghitung dengan sekejab. Namun, tetap saja, algorima yang digunakan haruslah rekursif, yaitu seperti definisi fungsi Fibonacci sebelumnya di atas.

Berikut diberikan formula (rumus Binet) untuk menentukan suku ke-n dari barisan fibonacci.

dimana = .

Phi () sering disebut juga sebagai golden number. Nilai juga sama dengan atau mendekati

Tentu saja, kalian bisa mencocokan hasil perhitungan ini dengan hasil perhitungan manual.

Sebagai contoh n = 9. Maka:



Hasilnya tidak diragukan lagi. Memang sama..!!

BUKTI RUMUS BINET

Barisan Fibonacci merupakan barisan kombinasi linear . Namun, kita juga dapat mendekati barisan ini secara geometrik.

Asumsikan bahwa: dimana a merupakan konstanta awal yang bukan nol. Dengan demikian:

Dengan membagi kedua ruas dengan , kita dapatkan:

Bentuk di atas merupakan bentuk persamaan kuadrat. Oleh karena itu, kita gunakan rumus untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

Maka, kita dapatkan: dan .

Untuk mempermudah penulisan, kita tahu bahwa hasil dari merupakan golden number, maka kita simbolkan dengan . Hasil dari juga ternyata adalah .

Kita mendapatkan 2 buah r dalam barisan ini. Artinya, barisan fibonacci merupakan barisan geometri kombinasi menggunakan 2 buah rasio tersebut. Ingat kembali asumsi awal bahwa . Karena, kita memiliki 2 buah rasio r, maka kita definisikan kembali

dimana dan adalah konstanta bukan nol.

Kombinasi linear tersebut dapat dibuktikan kebenarannya, seperti yang ditunjukkan di kotak warna biru di bawah.

Bukti bahwa barisan Fibonacci dapat didefinisikan sebagai .

Kita buktikan secara induksi matematika. Anggap bahwa adalah BENAR.

Kita tahu bahwa: , maka:

Namun, kita tahu dari persamaan karakteristik sebelumnya bahwa dengan membaginya dengan , kita dapatkan . Begitu pula dengan , kita dapatkan .

Karena persamaan sesuai dengan definisi awal, maka TERBUKTI secara induksi matematik.

... (a)
... (b)
Dengan menyelesaikan persamaan (a) dan (b), maka kita dapatkan dan .

Maka, kita sudah mendapatkan semua komponen formula Fibonacci.

Dengan demikian, formula (rumus) Binet terbukti.
Dapat disingkat menjadi:

dimana = .

Jika dirasa rumus Binet tersebut terlalu menyulitkan, kita bisa menggunakan hampiran yang dapat mengurangi kerumitan tersebut. Karena , maka. Jadi, kita bisa meniadakan unsur . Maka, hampiran rumus Binet adalah sebagai berikut.

untuk n cukup besar.

Barisan fibonacci yang dibahas di post ini merupakan barisan dengan suku-suku positif. Kita juga dapat menuliskan suku-suku negatifnya dan hal ini juga dijelaskan dalam formula Binet, sebagai berikut:

...-21, 13, -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

Sebenarnya, masih banyak lagi identitas Fibonacci yang ada. Salah satunya sudah dibahas di atas, yaitu .

SIFAT-SIFAT BARISAN BILANGAN FIBONACCI

Teorema 1 :

Jika n habis dibagi m, maka habis dibagi fn fm. Biarkan n dapat dibagi dengan m, yaitu, n = m * k di mana k adalah beberapa bilangan bulat. Asumsikan bahwa fm * fk habis dibagi fm.

Pertimbangkan fm * fk + 1.

fm (k + 1) = fmk + m. fm (k + 1) = fmk + m.

dan fmk + m = fmk-1fm + fmkfm + 1

Sejak fmk-1fm habis dibagi fm, fmk1fm + 1 adalah juga dibagi fm.

Teorema 2:

            Berturut-turut angka Fibonacci relatif prima. Asumsikan bahwa ada beberapa dua angka Fibonacci yang berurutan mengatakan

fn fn dan 1 yang mempunyai pembagi umum d, di mana d adalah lebih besar dari 1.

Dengan demikian, perbedaan mereka fn 1 - fn = fn-1 akan juga dapat dibagi oleh d.

Namun, kita tahu bahwa f1 = 1 yang tidak jelas habis dibagi d. Dengan demikian, kita telah mencapai suatu kontradiksi. Oleh karena itu, angka Fibonacci yang berurutan relatif prima.

ANGKA FIBONACCI

1 = 1 * 1 1 = 1 * 1

1 = 1 * 1 + 0 1 = 1 * 1 + 0

2 = 1 * 1 + 1 2 = 1 * 1 + 1

3 = 1 * 2 + 1 3 = 1 * 2 + 1

5 = 1 * 3 + 2 5 = 1 * 3 + 2

8 = 1 * 5 + 3 8 = 1 * 5 + 3

13 = 1 * 8 + 5 13 = 1 * 8 + 5

................................ ...............

fn-1 = 1*fn-2 + fn-3 fn-1 = 1 * fn-2 + fn-3

fn = 1*fn-1 + fn-2 fn = 1 * fn-1 + fn-2

fn+1 = 1*fn + fn-1 fn +1 = 1 * fn + fn-1