Senin, 12 Desember 2011

Pengambilan Film Raga 11.11.11 Dimulai di GOR Sudiang - Tribun Timur

Rabu, 07 Desember 2011

PENDEFINISIAN BANGUN SEGIEMPAT

1. PERSEGI

v Definisi Analitik :

Persegi adalah persegi panjang yang ke empat sisinya sama panjang. Dan setiap diagonalnya berpotongan membentuk sudut siku-siku.

v Definisi genetik :

Sebuah persegi dapat terbentuk dari suatu bidang yang di batasi oleh empat buah garis tertentu. Dan empat buah titik yang sepasang bertemu pada ujung-ujungnya. Dan persegi juga dapat terbentuk dari dua buah segitiga siku-siku yang sisi miringnya berimpit

v Sifat-sifat Persegi

Adapun sifat-sifat dari persegi yaitu: “Asyono”

1. Dapat menempati bingkainya dengan tepat menurut delapan cara;

2. Semua sisi sama panjang;

3. Sudut-sudutnya dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya;

4. Diagonal-diagonalnya saling tegak lurus;

222. PERSEGI PANJANG

S R

v Definisi analitik :

Persegi panjang adalah segiempat yang keempat sudutnya siku – siku dan sisi – sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.

v Definisi Genetik :

Persegi panjang terbentuk dari segitiga siku – siku yang diputar setengah putaran

v Sifat-sifat Persegi Panjang

1. Dalam setiap persegi panjang, sisi yang berhadapan sama panjang

2. Sisi yang berhadapan sejajar

3. Dalam setiap persegi panjang, tiap-tiap sudutnya sama besar dan merupakan sudut siku-siku dan besarnya 90⁰

4. Diagonal-diagonalnya sama panjang dan saling berpotongan serta saling membagi dua sama panjang.

3. BELAH KETUPAT

v Definisi analitik :

Belah ketupat adalah segiempat dengan sisi yang berhadapan sejajar, keempat sisinya sama panjang dan sudut – sudut yang berhadapan sama besar.

v Definisi Genetik :

o Belah Ketupat dibentuk dari segitiga sama kaki dan bayangaannya oleh pencerminan terhadap alas segitiga tersebut.

Belah ketupat adalah segi empat yang terbentuk dari dua buah segitiga sama kaki yang kongruen yang berhimpit pada sisi alasnya.

v Sifat-sifat Belah Ketupat

1. Semua sisinya sama panjang

2. Diagonanya merupakan sumbu simetri

3. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan di bagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya

4. Kedua diagonalanya saling membagi dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.

4. LAYANG – LAYANG

v Definisi Analitik :

Layang – layang memiliki dua pasang sisi yang sama panjang serta salah satu diagonalnya merupakan sumbu simetri

v Definisi Genetik

o Layang – layang terbentuk dari dua buah segitiga samakaki yang alasnya sama panjang dan berhimpit pada sisi alasnya.

o Layang-layang dibentuk dari gabungan dua segitiga sama kaki yang panjang alasnya sama dan berimpit.

v Sifat-sifat Layang-layang

1. Sepasang sisinya sama panjang

2. Terdapat sepasang sudut berhadapan sama besar

3. Salah satu diagonalnya merupakan sumbu simetri

4. Salah satu diagonalnya membagi dua sama panjang diagonal lain dan tegak lurus dengan diagonal itu.

5. JAJAR GENJANG

v Definisi Analitik :

Jajargenjang adalah segiempat dengan sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang serta sudut-sudut yang berhadapan sejajar dan sama panjang serta sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

v Definisi Genetik :

Jajar Genjang Merupakan segitiga ABC yang diputar setengah putaran pada titik tengah BC, maka dan bayangannya membentuk bangun jajargenjang ABCD Tersebut

v Sifat-sifat Jajar Genjang

1. Sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar

2. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar

3. Jumlah besar sudut-sudut yang bedekatan adalah 180⁰

4. Kedua diagonalanya saling membagi dua sama panjang

6. TRAPESIUM

v Definisi Analitik :

o Trapesium merupakan segi empat yang mempunyai sepasang sisi berhadapan sejajar.

o Trapesium adalah segiempat dengan tepat sepasang sisi yang berhadapan sejajar.

v Definisi Genetik :

Trapesium adalah segiempat yang terjadi apabila sebuah segiiga dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya.

v Sifat-sifat Trapesium

Pada setiap trapesium, jumlah sudut yang bedekatan diantara dua sisi sejajar adalah 180⁰.

DIAGRAM VENN

Keterangan :

- JG = Jajar Genjang

- PP = Persegi Panjang

- PS = Persegi

- BK = Belah Ketupat

- LL = Layang-Layang

- TP = Trapesium

DALIL PHYTAGORAS

DALIL PHYTAGORAS

Dalil Pythagoras merupakan salah satu dalil yang paling sering digunakan secara luas. Dalil ini pertama kali ditemukan oleh Pythagoras, yaitu seorang ahli matematika bangsa yunani yang hidup dalam abad keenam Masehi ( kira-kira pada tahun 525 sebelum Masehi ).

Dalil ini sesungguhnya telah dikenal orang-orang Babilonia sekitar 1.000 tahun sebelum masa kehidupan Pythagoras dan sampai saat ini masih digunakan antara lain untuk pelayaran, astronomi, dan arsitektur.

PEMBUKTIAN DALIL PYTHAGORAS

Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku Dalil Pythagoras , yaitu :

c² = a² + b²

atau

Kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi-sisi yang saling tegak lurus

v Pembuktian Dalil Pythagoras ada 3 cara, yaitu :

Cara Pertama

Perhatikan Gambar dibawah ini :

Pada gambar diatas, terdapat 4 segitiga siku-siku yang sebangun dan sama besar, persegi dengan panjang sisi c dan persegi dengan panjang sisi a + b. Luas Segitiga siku-siku tersebut masing-masing adalah

, luas persegi yang didalam (warna pink) adalah c² dan luas persegi yang besar (yang terluar) adalah (a + b)² = a² + 2ab + b².

Dari gambar bidang tersebut, dapat kita peroleh persamaan yaitu :

Luas persegi yang terluar = luas persegi yang didalam + 4 luas segitiga siku-siku.

a²+ 2ab + b²= c²+ 2 ab

a²+ 2ab + b² – 2ab = c²

a² + b²= c²

Terbukti bahwa c²= a² + b²

Keterangan :
Luas persegi = sisi x sisi = s²

Luas segitiga =

( a + b )2 = a²+ 2ab + b²

Cara Kedua

Luas empat buah segitga yang diarsir pada persegi ABCD = luas empat buah segitiga yang diarsir pada persegi KLMN, maka luas daerah yang tidak diarsir pada persegi ABCD = luas daerah yang tidak diarsir pada persegi KLMN.

Kesimpulan :

c² = a²+ b²

Keterangan :
Luas persegi = sisi x sisi = s²

Luas Segitiga =

( a + b )² = a²+ 2ab + b²

Cara Ketiga

Perhatikan gambar di atas !

Luas persegi dengan panjang sisi a adalah 9 satuan luas ( 9 kotak ) atau a2
Luas persegi dengan panjang sisi b adalah 16 satuan luas ( 16 kotak ) atau b2

Luas persegi dengan panjang sisi c = luas persegi dengan panjang sisi a + luas persegi dengan panjang sisi b

25 satuan luas	=	9 satuan luas	+	16 satuan luas
25 satuan luas	=	25 satuan luas

Kesimpulan :

c²= a² + b²

Keterangan :
Luas persegi = sisi x sisi = s²

Perhitungan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku, Jika dua sisi yang lain diketahui

Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku :

1.	Jika sisi a dan b diketahui , maka sisi c dapat dihitung dengan rumus : c² = a² + b²
2.	Jika sisi b dan c diketahui , maka sisi a dapat dihitung dengan rumus : a² = c²– b²
3.	Jika sisi a dan c diketahui , maka sisi b dapat dihitung dengan rumus : b² = c² – a²

Tripel Pytagoras

Tigaan Pythagoras sering diistilahkan triple pythagoras. Tigaan Pythagoras adalah Kelompok tiga bilangan dimana kuadrat bilangan terbesar merupakan jumlah kuadrat bilangan lainnya.

contoh : 3, 4, 5 dan kelipatannya
seperti 6, 8, 10 : 9, 12, 15 dsb

Tiga buah bilangan a, b dan c dimana a, b dan ? bilagan asli dan c merupakan bilangan terbesar, dikatakan merupakan tripel Pythagoras jika ketiga bilangan tersebut memenuhi hubungan :

c²	=	a²+b²
b²	=	c²-a²
a²	=	c²-b²

CONTOH :

Manakah diantara tigaan berikut yang merupakan tripel Pythagoras ?

a. 6, 8, 10

b. 5, 12, 13

c. 11, 12, 13

PENYELESAIAN

a.	Angka terbesar 10, maka c = 10, a = 8 dan b = 6 10² = 8² + 6² 100 = 64 + 36 100 = 100 Jadi 6, 8, 10 merupakan tripel Pythagoras
b.	Angka terbesar 13, maka c = 13, a = 12 dan b = 5 13² ¹ 12² + 5² 169 ¹ 144 + 25 169 ¹ 169 Jadi 5, 12, 13 merupakan tripel Pythagoras
c.	Angka terbesar 13, maka c = 13, a = 12 dan b= 11 13² = 12²+ 11² 169 = 144 + 121 169 = 265 Jadi 5, 12, 13 bukan merupakan tripel Pythagoras

BILANGAN FIBONACCI

Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

$F(n)= \left\{ \begin{matrix} 0\,,\qquad\qquad\qquad\quad\,\ \ \,&&\mbox{jika }n=0\,;\ \ \\ 1,\qquad\qquad\qquad\qquad\,&&\mbox{jika }n=1;\ \ \,\\ F(n-1)+F(n-2)&&\mbox{jika tidak.} \end{matrix} \right.$

Penjelasan: barisan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan aturan ini, maka barisan bilangan Fibonaccci yang pertama adalah:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut: Fn = (x1^n - x2^n)/ sqrt(5) dengan

Fn adalah bilangan Fibonacci ke-n
x1 dan x2 adalah penyelesaian persamaan x^2-x-1=0

Perbandingan antara Fn+1 dengan Fn hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut Golden Ratio yang nilainya mendekati 1,618.

Tentunya, kita semua mengenal bilangan Fibonacci (atau disebut juga barisan Fibonacci). Suku pertama barisan ini adalah 1, begitu pula dengan suku ke-2. Suku berikutnya merupakan penjumlahan 2 suku sebelumnya.
Suku-suku positif barisan Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

Di post ini, kita akan mengenal lebih jauh mengenai bilangan Fibonacci ini. Dimulai dengan sejarah bilangan Fibonacci, bahkan sampai terciptanya rumus Binet, yang digunakan untuk mencari suku ke-n dari Fibonacci, yaitu sebagai berikut.

dimana

BUKTI RUMUS BINET

Barisan Fibonacci merupakan barisan kombinasi linear

. Namun, kita juga dapat mendekati barisan ini secara geometrik.

Asumsikan bahwa:

dimana a merupakan konstanta awal yang bukan nol. Dengan demikian:

Dengan membagi kedua ruas dengan

, kita dapatkan:

Bentuk di atas merupakan bentuk persamaan kuadrat. Oleh karena itu, kita gunakan rumus

untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

Maka, kita dapatkan:

dan

Untuk mempermudah penulisan, kita tahu bahwa hasil dari

merupakan golden number, maka kita simbolkan dengan

. Hasil dari

juga ternyata adalah

.

Kita mendapatkan 2 buah r dalam barisan ini. Artinya, barisan fibonacci merupakan barisan geometri kombinasi menggunakan 2 buah rasio tersebut. Ingat kembali asumsi awal bahwa

. Karena, kita memiliki 2 buah rasio r, maka kita definisikan kembali